Pemodelan SARIMA untuk Peramalan Deret Waktu Musiman: Teori, Aplikasi, dan Studi Kasus

Deret waktu, yang terdiri dari observasi berurutan dari suatu variabel selama periode waktu tertentu, adalah jenis data yang fundamental dalam berbagai disiplin ilmu, mulai dari ekonomi, keuangan, hingga rekayasa dan ilmu lingkungan. Kemampuan untuk memahami dan meramalkan perilaku deret waktu di masa depan memiliki implikasi besar untuk pengambilan keputusan strategis. Misalnya, perusahaan dapat merencanakan inventarisasi berdasarkan proyeksi penjualan musiman, pemerintah dapat membuat kebijakan ekonomi berdasarkan perkiraan inflasi, atau penyedia layanan dapat mengoptimalkan kapasitas berdasarkan pola permintaan. Proses peramalan deret waktu melibatkan identifikasi pola historis, dekomposisi komponen (tren, musiman, siklus, dan residu), dan ekstrapolasi pola-pola ini ke masa depan.

Namun, salah satu tantangan terbesar dalam peramalan deret waktu adalah adanya komponen musiman. Musiman merujuk pada pola yang berulang dan dapat diprediksi dalam deret waktu yang terjadi pada interval yang tetap. Contoh umum termasuk peningkatan penjualan ritel selama liburan akhir tahun, lonjakan konsumsi listrik di musim panas karena penggunaan AC, atau fluktuasi jumlah wisatawan bulanan. Keberadaan pola musiman ini seringkali tidak dapat ditangkap secara efektif oleh model deret waktu tradisional yang tidak memperhitungkan karakteristik musiman secara eksplisit. Mengabaikan musiman dapat menyebabkan peramalan yang bias dan tidak akurat, sehingga menghambat proses pengambilan keputusan yang optimal.

Meninjau Model ARIMA: Fondasi SARIMA

Sebelum mendalami Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average (SARIMA), penting untuk memahami model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang menjadi dasarnya. Model ARIMA$(p,d,q)$ adalah salah satu metode peramalan deret waktu yang paling populer, dirancang untuk data non-musiman yang stasioner atau dapat dibuat stasioner melalui proses differencing.

Komponen-Komponen Model ARIMA:

• AR (Autoregressive), $p$: Bagian autoregresif menunjukkan bahwa variabel yang diminati bergantung pada nilai-nilai masa lalunya sendiri. Deret waktu $Y_t$ dikatakan mengikuti proses AR$(p)$ jika dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $p$ observasi sebelumnya, ditambah suku galat acak (white noise). Dalam notasi operator lag $L$, ini dapat ditulis sebagai $(1 - \phi_1 L - \dots - \phi_p L^p)Y_t = \epsilon_t$.
• I (Integrated), $d$: Bagian integrated menunjukkan bahwa data deret waktu telah di-differencing sebanyak $d$ kali untuk mencapai stasionaritas. Stasionaritas adalah asumsi kunci dalam banyak model deret waktu, di mana rata-rata, varians, dan struktur autokorelasi deret waktu tetap konstan seiring waktu. Jika deret waktu tidak stasioner, kita mengambil perbedaan antara observasi saat ini dan observasi sebelumnya $(Y_t - Y_{t-1})$ sebanyak $d$ kali. Operator differencing pertama adalah $(1-L)Y_t$.
• MA (Moving Average), $q$: Bagian moving average menunjukkan bahwa variabel yang diminati bergantung pada suku galat peramalan masa lalu. Deret waktu $Y_t$ dikatakan mengikuti proses MA$(q)$ jika dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $q$ suku galat acak sebelumnya, ditambah suku galat acak saat ini. Dalam notasi operator lag $L$, ini dapat ditulis sebagai $Y_t = (1 + \theta_1 L + \dots + \theta_q L^q)\epsilon_t$.

Model ARIMA menggabungkan ketiga komponen ini, menghasilkan formula matematis yang komprehensif untuk data deret waktu non-musiman. Operator lag $L$ didefinisikan sebagai $L^k Y_t = Y_{t-k}$, yang berarti $L$ menggeser deret waktu ke belakang sebanyak $k$ periode.

Memahami Model SARIMA (Seasonal ARIMA)

Model SARIMA, atau Seasonal ARIMA, adalah ekstensi dari model ARIMA yang secara eksplisit memperhitungkan pola musiman dalam data deret waktu. Ini sangat efektif untuk data yang menunjukkan pola berulang pada interval waktu yang teratur, seperti data bulanan (periode 12), kuartalan (periode 4), atau harian dalam seminggu (periode 7).

Notasi standar untuk model SARIMA adalah ARIMA$(p,d,q)(P,D,Q)_S$, di mana:

• $(p,d,q)$ adalah komponen non-musiman, sama seperti pada model ARIMA biasa:
  • $p$: Orde autoregresif non-musiman.
  • $d$: Orde differencing non-musiman.
  • $q$: Orde moving average non-musiman.
• $(P,D,Q)_S$ adalah komponen musiman:
  • $P$: Orde autoregresif musiman. Ini menunjukkan ketergantungan antara observasi saat ini dan observasi dari musim-musim sebelumnya (misalnya, nilai bulan Januari tahun ini dengan nilai Januari tahun lalu).
  • $D$: Orde differencing musiman. Ini adalah jumlah differencing yang diterapkan pada data dengan lag sebesar $S$ untuk menghilangkan tren dan pola musiman yang terjadi pada periode musiman. Misalnya, untuk data bulanan dengan $S=12$, differencing musiman akan menghitung perbedaan antara $Y_t$ dan $Y_{t-12}$.
  • $Q$: Orde moving average musiman. Ini menunjukkan ketergantungan antara observasi saat ini dan suku galat dari musim-musim sebelumnya.
  • $S$: Panjang periode musiman (misalnya, 12 untuk data bulanan, 4 untuk data kuartalan, 7 untuk data harian mingguan).

Secara efektif, SARIMA menerapkan komponen AR, I, dan MA baik pada bagian non-musiman maupun pada bagian musiman dari deret waktu. Differencing musiman $(1-L^S)^D$ sangat penting karena secara langsung menargetkan pola musiman dengan mengurangi observasi saat ini dengan observasi dari periode musiman sebelumnya. Misalnya, jika $D=1$ dan $S=12$, maka kita akan mengambil $Y_t - Y_{t-12}$. Ini membantu menstabilkan rata-rata deret waktu musiman dan menghilangkan komponen musiman. Setelah differencing musiman, differencing non-musiman $(1-L)^d$ kemudian dapat diterapkan untuk menghilangkan tren non-musiman yang tersisa.

Formulasi Matematis Model SARIMA

Model SARIMA$(p,d,q)(P,D,Q)_S$ dapat diformulasikan secara matematis menggunakan operator lag $L$ sebagai berikut:

$$ \phi_p(L)\Phi_P(L^S)(1-L)^d(1-L^S)^D Y_t = \theta_q(L)\Theta_Q(L^S)\epsilon_t $$

Di mana:

• $Y_t$ adalah nilai observasi pada waktu $t$.
• $\epsilon_t$ adalah suku galat white noise pada waktu $t$.
• $\phi_p(L) = 1 - \phi_1 L - \dots - \phi_p L^p$ adalah polinomial autoregresif non-musiman.
• $\Phi_P(L^S) = 1 - \Phi_1 L^S - \dots - \Phi_P L^{PS}$ adalah polinomial autoregresif musiman.
• $\theta_q(L) = 1 + \theta_1 L + \dots + \theta_q L^q$ adalah polinomial moving average non-musiman.
• $\Theta_Q(L^S) = 1 + \Theta_1 L^S + \dots + \Theta_Q L^{QS}$ adalah polinomial moving average musiman.
• $(1-L)^d$ adalah operator differencing non-musiman dengan orde $d$.
• $(1-L^S)^D$ adalah operator differencing musiman dengan orde $D$ dan periode musiman $S$.

Persamaan ini menunjukkan bagaimana komponen non-musiman dan musiman berinteraksi. Deret waktu $Y_t$ pertama-tama di-differencing secara musiman dan non-musiman untuk mencapai stasionaritas. Kemudian, proses AR dan MA diterapkan pada deret yang telah distasionerkan ini, baik untuk ketergantungan non-musiman maupun musiman. Parameter $\phi$ dan $\theta$ mewakili koefisien AR dan MA non-musiman, sedangkan $\Phi$ dan $\Theta$ mewakili koefisien AR dan MA musiman.

Langkah-Langkah Pemodelan SARIMA

Membangun model SARIMA yang efektif melibatkan serangkaian langkah sistematis, mirip dengan metodologi Box-Jenkins untuk ARIMA:

1. Eksplorasi Data dan Visualisasi

Langkah pertama adalah memvisualisasikan data deret waktu melalui plot garis. Perhatikan keberadaan tren, musiman, siklus, dan anomali. Dekomposisi deret waktu menjadi komponen tren, musiman, dan residu juga sangat membantu untuk memahami karakteristik intrinsik data. Ini memberikan gambaran awal tentang periode musiman $S$ dan apakah ada tren yang perlu dihilangkan.

2. Uji Stasionaritas dan Differencing

Model SARIMA mensyaratkan data harus stasioner setelah differencing. Stasionaritas non-musiman (rata-rata dan varians konstan seiring waktu) dan stasionaritas musiman (pola musiman yang berulang dengan amplitudo konstan) harus diatasi:

• Differencing Musiman ($D$): Jika ada pola musiman yang jelas, terapkan differencing musiman terlebih dahulu. Ini melibatkan pengurangan $Y_t$ dengan $Y_{t-S}$. Plot fungsi Autokorelasi (ACF) dan fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) dari deret yang telah di-differencing musiman. Jika autokorelasi pada lag musiman (misalnya, lag 12, 24, 36 untuk $S=12$) menunjukkan penurunan yang signifikan atau "cut-off" setelah differencing musiman, maka $D=1$ mungkin sudah cukup. Ulangi jika perlu (jarang $D>1$).
• Differencing Non-Musiman ($d$): Setelah mengatasi musiman, periksa tren non-musiman yang tersisa. Jika deret masih menunjukkan tren atau tidak stasioner, terapkan differencing non-musiman. Gunakan uji statistik seperti Augmented Dickey-Fuller (ADF) atau Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS) untuk memverifikasi stasionaritas. Plot ACF dan PACF setelah differencing musiman dan non-musiman untuk membantu mengidentifikasi parameter $p,q,P,Q$.

3. Identifikasi Parameter Model (p,q,P,Q)

Setelah data stasioner, analisis plot ACF dan PACF untuk menentukan orde $p,q,P,Q$.

• Parameter Non-Musiman ($p,q$):
  • Jika ACF menunjukkan penurunan eksponensial atau sinusoidal dan PACF menunjukkan "cut-off" pada lag $p$, indikasinya adalah model AR$(p)$.
  • Jika PACF menunjukkan penurunan eksponensial atau sinusoidal dan ACF menunjukkan "cut-off" pada lag $q$, indikasinya adalah model MA$(q)$.
• Parameter Musiman ($P,Q$): Fokus pada lag kelipatan $S$ (misalnya, lag 12, 24, 36 untuk $S=12$) pada plot ACF dan PACF.
  • Jika ACF memiliki "cut-off" pada lag $S \times P$ (misalnya, lag 12 untuk $P=1, S=12$) dan PACF menunjukkan penurunan yang lambat pada lag musiman, indikasinya adalah Seasonal AR$(P)$.
  • Jika PACF memiliki "cut-off" pada lag $S \times Q$ dan ACF menunjukkan penurunan yang lambat pada lag musiman, indikasinya adalah Seasonal MA$(Q)$.

Proses ini seringkali bersifat iteratif dan membutuhkan pengalaman. Beberapa kombinasi parameter mungkin perlu dicoba.

4. Estimasi Parameter

Setelah mengidentifikasi calon parameter $(p,d,q)(P,D,Q)_S$, model diestimasi menggunakan metode seperti Maximum Likelihood Estimation (MLE). Perangkat lunak statistik akan menghitung koefisien $\phi, \theta, \Phi, \Theta$ yang paling sesuai dengan data.

5. Diagnostik Model

Setelah model diestimasi, penting untuk mengevaluasi kualitasnya. Ini melibatkan analisis residu (perbedaan antara nilai aktual dan nilai yang diprediksi oleh model):

• Uji White Noise: Residu harus menyerupai white noise (tidak berkorelasi, rata-rata nol, varians konstan). Plot ACF dan PACF dari residu harus menunjukkan tidak ada autokorelasi yang signifikan pada lag manapun. Uji Ljung-Box dapat digunakan untuk secara formal menguji hipotesis bahwa residu adalah white noise.
• Normalitas Residu: Meskipun tidak selalu wajib, idealnya residu harus terdistribusi normal. Plot Q-Q atau uji Shapiro-Wilk dapat digunakan.
• Pemilihan Model: Jika beberapa model SARIMA telah diidentifikasi, gunakan kriteria informasi seperti Akaike Information Criterion (AIC) atau Bayesian Information Criterion (BIC) untuk memilih model terbaik. Model dengan nilai AIC atau BIC terendah umumnya lebih disukai karena memberikan keseimbangan antara kecocokan model dan kompleksitasnya.

6. Peramalan

Setelah model divalidasi dan dianggap memuaskan, model tersebut dapat digunakan untuk membuat peramalan nilai di masa depan. Peramalan akan disertai dengan interval kepercayaan, yang menunjukkan tingkat ketidakpastian seputar perkiraan tersebut.

Keunggulan dan Keterbatasan Model SARIMA

Keunggulan:

• Penanganan Musiman yang Efektif: SARIMA dirancang khusus untuk menangani pola musiman yang kompleks, menjadikannya pilihan yang kuat untuk data dengan siklus berulang.
• Metodologi yang Terbukti: Berdasarkan metodologi Box-Jenkins yang telah teruji, SARIMA memiliki fondasi teoritis yang kuat dan telah banyak digunakan dalam berbagai aplikasi.
• Parameter yang Dapat Diinterpretasi: Setiap parameter $(p,d,q,P,D,Q,S)$ memiliki makna statistik yang jelas, memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang struktur data.

Keterbatasan:

• Asumsi Linearitas: SARIMA adalah model linier dan mungkin tidak secara efektif menangkap hubungan non-linear yang lebih kompleks dalam data.
• Stasionaritas: Model ini memerlukan data yang stasioner atau dapat dibuat stasioner melalui differencing, yang kadang-kadang bisa menjadi proses yang menantang.
• Identifikasi Parameter yang Kompleks: Menentukan orde $(p,d,q)(P,D,Q)_S$ bisa menjadi subjektif dan membutuhkan keahlian serta pengalaman dalam interpretasi plot ACF dan PACF.
• Asumsi Musiman Konstan: SARIMA mengasumsikan bahwa pola musiman memiliki amplitudo dan bentuk yang konstan dari waktu ke waktu. Jika musiman berubah (misalnya, pola musiman yang membesar atau mengecil), model ini mungkin kurang optimal.
• Sensitif terhadap Pencilan: Data pencilan atau anomali dapat memengaruhi estimasi parameter dan kualitas peramalan.

Aplikasi Praktis Model SARIMA

Model SARIMA telah diterapkan secara luas di berbagai bidang yang menghadapi data deret waktu musiman, antara lain:

• Ekonomi dan Keuangan: Peramalan Indeks Harga Konsumen (inflasi bulanan), tingkat pengangguran, volume perdagangan saham musiman, dan penjualan ritel.
• Manajemen Operasi: Peramalan permintaan produk untuk manajemen inventaris, kebutuhan tenaga kerja, dan optimasi rantai pasokan.
• Energi: Peramalan beban listrik atau konsumsi gas untuk perencanaan kapasitas dan alokasi sumber daya.
• Lingkungan dan Meteorologi: Peramalan kualitas udara musiman, aliran sungai, atau suhu.
• Pariwisata: Peramalan jumlah kedatangan wisatawan bulanan atau musiman untuk perencanaan strategi pemasaran.

Implementasi dalam Perangkat Lunak

SARIMA dapat diimplementasikan menggunakan berbagai perangkat lunak statistik dan bahasa pemrograman. R, dengan paket seperti forecast (fungsi auto.arima() atau Arima()), dan Python, dengan pustaka statsmodels (fungsi SARIMAX()), adalah pilihan populer yang menyediakan fungsionalitas komprehensif untuk pemodelan SARIMA, termasuk identifikasi parameter otomatis dan diagnostik model.